はじめに

本格的な時系列データ分析に入る前に，時系列データに使用可能な基本的な統計量（平均・分散・自己相関等）をおさらいします．

配布する加速度センサデータの基本統計量を実際に求めて，それぞれの値をどのようなケースに利用できそうかを考えます．

基本統計量

本記事では，「時系列データかどうかを問わず，一般的なデータ分析で用いられる統計量」を基本統計量と呼ぶことにします．

本日扱う統計量は，

• 平均
• 分散 & 標準偏差
• 中央値
• 共分散【自己共分散】
• 相関係数【自己相関係数】

です（時系列データに適用する際の特殊な名前がある場合は【 】で示しています）．高校・大学で習った内容の復習のつもりで見てください．

基本統計量の概要・数式

平均 \(\mu\)

データがどの辺りを中心に分布しているかを示す値です．\(n\)個のセンサデータ\(x[1], x[2], \cdots, x[n]\)に対して，平均\(\mu\)は．

\[\mu_x = \frac{x[1] + x[2] + \cdots + x[n]}{n}\]

となります．

分散 \(\sigma^2\) & 標準偏差 \(\sigma\)

データのばらつき度合いを表す指標です．先程の平均\(\mu_x\)を用いて，分散\(\sigma^2\)は，

\[
\sigma^2 = \frac{(x[1]-\mu_x)^2 + (x[2]-\mu_x)^2 + \cdots + (x[n]-\mu_x)^2}{n} \\
= \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n (x[t]-\mu_x)^2
\]

のように表します．ここで，\(x[t]-\mu_x\)は，偏差と呼ばれ，平均からどの程度離れているかを表します．

偏差を2乗することで，それぞれの値を0以上にします．分散の単位は，元のデータの単位を2乗したものとなっています(通常単位などをあまり考えないときに使います)．

標準偏差は，分散の正の平方根をとったものです．ばらつき度合いの数値の単位を，元のデータと合わせたいときに使います．

中央値 \(\rm{Med}\)

データに外れ値があり，平均が代表する値として不適当な場合は，中央値を代わりに用いることがあります．データを小さい順に並べた（ソート済みの）\(n\)個のデータ\(x[n]\)があるとき，

\[ \rm{Med_x} =
\begin{cases}
x[\frac{n}{2}] & n = 偶数 \\
\frac{x[\frac{x-1}{2}] + x[\frac{x+1}{2}]}{2}& n = 奇数 \\
\end{cases}
\]

共分散 \(\rm{Cov}\)

2つの異なるデータ列の関係を表す値です．それぞれ長さnのデータ列\(x, y\)があるとき，

\[\rm{Cov}[x, y] = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x[k] – \mu_x)(y[k] – \mu_y)\]

全く同じデータ同士で共分散を取ると，分散になります．共分散の値は，

\(\rm{Cov}[x, y] > 0\)のとき: xが大きいとき，yも大きくなる．Covの大きさはその傾向の度合い

\(\rm{Cov}[x, y] = 0\) のとき: 関係がない

\(\rm{Cov}[x, y] < 0\)のとき，xが大きいとき，yは小さくなる．Covの絶対値の大きさはその傾向の度合い

のような意味があります．

https://manabitimes.jp/math/853

自己相関係数 \(\rm{Corr}\)

相関係数は，2つのデータがどれだけ関係しているかを表す指標です．x, yのデータに対する相関係数は，

\[\rm{Corr}[x, y] = \frac{\rm{Cov}[x, y]}{\sigma_x \sigma_y} \]

で定義されます．共分散 \(Cov[x, y]\)を，それぞれの標準偏差で割っており，正規化したような形になっています．取る値は，\(-1 \leq Corr_{xy} \leq +1\) となります．

ここで，

正の完全相関とは，\(Corr[x, y] = +1\)の状態であり， \(y=ax+b, a>0\)の上に，全ての(x, y)のデータが乗る状態です．

負の完全相関とは，\(Corr[x, y] = -1\)の状態であり， \(y=ax+b, a<0\)の上に，全ての(x, y)のデータが乗る状態です．

\(|Corr[x, y]|\)が0に近づくほど関係がなく，1に近づくほどx, yの関係が強くなるというイメージとなります．

基本統計量を元にした，時系列データ特有の統計量

上では，時系列データとは関係なく，普遍的に使える統計量の説明を書きました．以下からは，時系列データに共分散や相関係数を適用した，「自己共分散」「自己相関係数」について説明します．

自己共分散

自己共分散は，時系列データ\(y_t\)と，\(y_t\)の時間をiだけずらした\(y_{t-i}\)との間で共分散を取ります．

\[ \rm{Cov}[y_t, y_{t-i}] = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n (y_t – \mu_{y_t})(y_{t-i} – \mu_{y_{t-i}}) \]

i時間だけ離れたデータの共分散のことを，i次の自己共分散と言います．

通常の共分散の性質と同じく，正の値を取れば同じ増減の傾向が，負の値を取れば逆の増減の傾向があると考えられます．

自己相関係数

自己相関係数は，自己共分散と同様，時系列データ\(y_t\)と，\(y_t\)の時間をiだけずらした\(y_{t-i}\)との間で相関係数を計算します．式にすると，

\[\rm{Corr}[y_t, y_{t-i}] = \frac{\rm{Cov}[y_t, y_{t-i}]}{\sigma_{y_{t}} \sigma_{y_{t-i}}} \]

のようになり，i次の自己相関係数と言います．自己相関係数が大きくなるということは，「i時間周期で，同じような波形が時系列データ上に現れている」ことを示します．

センサデータへの基本統計量の適用

ここからは，センサデータを実際に利用して，データから得られる基本統計量の使い道・用途について考えます．

今回使用するセンサデータは，加速度センサ・ジャイロセンサの2つです．加速度センサは，物体の加速度を測定し，傾きや振動を検知するのに用いられます．ジャイロセンサは，物体の運動のうち，角加速度を測定します．

# todo センサデータに統計量を適用したときの値などを取り出す